Phase 01: Math Foundations

एआई के लिए जटिल संख्याएँ

-1 की वर्गमूल कल्पना नहीं है, यह घूर्णन, आवृत्तियों और सिग्नल प्रसंस्करण के आधे भाग की कुंजी है।

Type: Learn

Languages: Python, TypeScript

Prerequisites: Phase 1, Lessons 01-04 (linear algebra, calculus)

Time: ~60 minutes

सीखने के लक्ष्य

  • आयताकार और ध्रुवीय दोनों रूपों में जटिल अंकगणित (जोड़ें, गुणा करें, विभाजित करें, जोड़ें) करें
  • जटिल एक्सपोनेंशियल और त्रिकोणमिति कार्यों के बीच परिवर्तित करने के लिए एयूलर के सूत्र का उपयोग करें
  • एकता की जटिल जड़ों का उपयोग करके डिस्क्रिट फ़ूरियर ट्रांसफॉर्म को लागू करें
  • ट्रांसफार्मर में रोपी और सिनोसाइडल पोजिशनिंग कोडिंग के जटिल रोटेशन कैसे अंतर्निहित हैं, इसकी व्याख्या करें

समस्या

आप फ़ूरियर परिवर्तन पर एक पेपर खोलें और वहाँ हैiआप ट्रांसफार्मर स्थिति कोडिंग देख सकते हैं और देख सकते हैंsinऔर cosआप क्वांटम कंप्यूटिंग के बारे में पढ़ते हैं और जटिल वेक्टर स्पेस में व्यक्त सब कुछ पा सकते हैं।

जटिल संख्याएं अमूर्त लगती हैं। -1 की वर्गमूल पर निर्मित संख्या प्रणाली एक गणितीय चाल की तरह लगती है। लेकिन यह कोई चाल नहीं है। यह घूर्णन और घर्षण की प्राकृतिक भाषा है। जब भी कुछ घूमता है, कंपन करता है या घर्षण करता है, तो जटिल संख्याएं सही उपकरण हैं।

जटिल संख्याओं को समझने के बिना, आप डिस्क्रिट फ़ूरियर ट्रांसफॉर्म को नहीं समझ सकते हैं। आप एफएफटी को नहीं समझ सकते हैं। आप नहीं समझ सकते कि आधुनिक भाषा मॉडल में रोपी (रोटरी पोजीशन एम्बेडिंग) कैसे काम करता है। आप नहीं समझ सकते कि मूल ट्रांसफार्मर पेपर में सिनोसाइडल पोजीशनल एन्कोडिंग्स ने वे आवृत्तियों का उपयोग क्यों किया है।

यह पाठ जटिल अंकगणित को खरोंच से बनाता है, इसे ज्यामिति से जोड़ता है, और आपको दिखाता है कि मशीन लर्निंग में जटिल संख्याएं कहां दिखाई देती हैं।

अवधारणा

जटिल संख्या क्या है?

एक जटिल संख्या में दो भाग होते हैंः एक वास्तविक भाग और एक कल्पनात्मक भाग।

code
z = a + bi

where:
  a is the real part
  b is the imaginary part
  i is the imaginary unit, defined by i^2 = -1

यह है. आप संख्या रेखा को एक विमान में विस्तारित करते हैं. वास्तविक संख्या एक अक्ष पर बैठती है. कल्पनात्मक संख्या दूसरी पर बैठती है. प्रत्येक जटिल संख्या इस विमान में एक बिंदु है.

जटिल अंकगणित

Addition.वास्तविक भागों को एक साथ जोड़ें, कल्पनात्मक भागों को एक साथ जोड़ें।

\begin{aligned} (a + bi) + (c + di) &= (a + c) + (b + d)i \\[4pt] \text{Example: } (3 + 2i) + (1 + 4i) &= 4 + 6i \end{aligned}

Multiplication.वितरण कानून का उपयोग करें और याद रखें किi^2 = -1. .

\begin{aligned} (a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci + bdi^2 \\ &= ac + adi + bci - bd \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)i \\[8pt] \text{Example: } (3 + 2i)(1 + 4i) &= 3 + 12i + 2i + 8i^2 \\ &= 3 + 14i - 8 \\ &= -5 + 14i \end{aligned}

Conjugate.कल्पनात्मक भाग के संकेत को मोड़ें।

\text{conjugate of } (a + bi) = a - bi

एक जटिल संख्या और उसके संयोग का गुणक हमेशा वास्तविक होता हैः

(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2

Division.संकेतक के संयोग से संख्या और संज्ञाकार को गुणा करें।

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}

इससे नामकरण से कल्पनात्मक भाग को हटा दिया जाता है, जिससे आपको एक शुद्ध जटिल संख्या मिलती है।

जटिल विमान

जटिल विमान प्रत्येक जटिल संख्या को 2D बिंदु पर मैप करता है क्षैतिज अक्ष वास्तविक अक्ष है, ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक अक्ष है।

code
z = 3 + 2i  corresponds to the point (3, 2)
z = -1 + 0i corresponds to the point (-1, 0) on the real axis
z = 0 + 4i  corresponds to the point (0, 4) on the imaginary axis

एक जटिल संख्या एक ही समय में मूल से एक बिंदु और एक वेक्टर है। यह दोहरी व्याख्या ही जटिल संख्याओं को ज्यामिति के लिए उपयोगी बनाती है।

ध्रुवीय रूप

विमान में किसी भी बिंदु को मूल से इसकी दूरी और सकारात्मक वास्तविक अक्ष से उसके कोण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

\begin{aligned} z &= r (\cos\theta + i \sin\theta) \\[4pt] \text{where: } r &= |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{(magnitude, or modulus)} \\ \theta &= \mathop{\mathrm{atan2}}(b, a) \quad \text{(phase, or argument)} \end{aligned}

आयताकार रूप (a + bi)ध्रुवीय रूप (r, \theta)गुणन के लिए अच्छा है।

Multiplication in polar form.परिमाणों को गुणा करें, कोण जोड़ें।

\begin{aligned} z_1 &= r_1 e^{i\theta_1} \\ z_2 &= r_2 e^{i\theta_2} \\[4pt] z_1 z_2 &= (r_1 r_2) \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \end{aligned}

यही कारण है कि जटिल संख्याएं घूर्णन के लिए एकदम सही हैं। परिमाण 1 के साथ जटिल संख्या से गुणा करना शुद्ध घूर्णन है।

यूलर का सूत्र

जटिल एक्सपोनेंशियल और त्रिकोणमिति के बीच पुलः

e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta

यह इस पाठ का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है।\theta = \pi:

\begin{aligned} e^{i\pi} &= \cos\pi + i \sin\pi = -1 + 0i = -1 \\[4pt] \text{Therefore: } e^{i\pi} + 1 &= 0 \end{aligned}

पांच मूलभूत स्थिरताएं (e,i,\pi, 1, 0) एक समीकरण में जुड़ा हुआ है।

एमएल के लिए ईलर का सूत्र क्यों मायने रखता है

एयूलर के सूत्र में कहा गया है किe^{i\theta}इकाई वृत्त को \thetaभिन्नता।\theta = 0, आप पर हैं (1, 0).\theta = \pi/2, आप पर हैं (0, 1).\theta = \pi, आप पर हैं (-1, 0).\theta = 3\pi/2, आप पर हैं (0, -1). एक पूर्ण घूर्णन है \theta = 2\pi. .

इसका मतलब है कि जटिल एक्सपोनेंटल ARE घूर्णन हैं और घूर्णन संकेत प्रसंस्करण और ML में हर जगह हैं।

2D घूर्णन से कनेक्शन

जटिल संख्या को गुणा करना (x + yi)द्वारा e^{i\theta}बिंदु को घुमाता है (x, y)कोण से \thetaमूल के बारे में।

\begin{aligned} &\text{Rotation via complex multiplication:} \\ &\quad (x + yi)(\cos\theta + i \sin\theta) = (x \cos\theta - y \sin\theta) + (x \sin\theta + y \cos\theta)i \\[8pt] &\text{Rotation via matrix multiplication:} \\ &\quad \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \cos\theta - y \sin\theta \\ x \sin\theta + y \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}

वे समान परिणाम देते हैं. जटिल गुणा 2D घूर्णन है. घूर्णन मैट्रिक्स सिर्फ मैट्रिक्स संकेतन में लिखा जटिल गुणा है.

graph TD
    subgraph "Complex Multiplication = 2D Rotation"
        A["z = x + yi<br/>Point (x, y)"] -->|"multiply by e^(i*theta)"| B["z' = z * e^(i*theta)<br/>Point rotated by theta"]
    end
    subgraph "Equivalent Matrix Form"
        C["vector [x, y]"] -->|"multiply by rotation matrix"| D["[x cos theta - y sin theta,<br/> x sin theta + y cos theta]"]
    end
    B -.->|"same result"| D

फासर और घूर्णन संकेत

एक जटिल घातीय e^{i\omega t}कोणीय आवृत्ति पर इकाई वृत्त के चारों ओर घूमती एक बिंदु है \omega. . .tबढ़ता है, बिंदु चक्र का पता चलता है।

इस घूर्णन बिंदु का वास्तविक हिस्सा है \cos(\omega t). . कल्पनात्मक भाग है\sin(\omega t)एक सिनोसाइडल सिग्नल घूर्णन जटिल संख्या की छाया है।

\begin{aligned} e^{i\omega t} &= \cos(\omega t) + i \sin(\omega t) \\[4pt] \text{Real part: } & \cos(\omega t) \quad \text{-- a cosine wave} \\ \text{Imaginary part: } & \sin(\omega t) \quad \text{-- a sine wave} \end{aligned}

यह चरण का प्रतिनिधित्व है. एक घुमावदार सिनेस तरंग को ट्रैक करने के बजाय, आप एक सुचारू रूप से घूमते तीर को ट्रैक करते हैं। चरण शिफ्ट कोण ऑफसेट बन जाते हैं। परिमाण परिवर्तन परिमाण परिवर्तन बन जाते हैं। संकेतों का जोड़ वेक्टर योग बन जाता है।

एकता की जड़ें

N- एकता की जड़ें हैं Nइकाई वृत्त पर समान रूप से अलग-अलग बिंदुः

w_k = e^{2\pi i k/N} \quad \text{for } k = 0, 1, 2, \ldots, N-1

के लिएN = 4, जड़ें हैंः 1, i, -1, -i(चार कम्पास बिंदुओं) ।

के लिएN = 8, आप चार कम्पास बिंदुओं के साथ चार विघात प्राप्त करते हैं।

एकता की जड़ें डिस्क्रिट फ़ूरियर ट्रांसफॉर्म की नींव हैं। डीएफटी इन पर संकेत को घटकों में तोड़ देता है।Nसमान-अंतर आवृत्तियों।

डीएफटी से कनेक्शन

एक संकेत का एक गुप्त फ़ूरियर परिवर्तन x[0], x[1], \ldots, x[N-1]है:

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-2\pi i k n/N}

प्रत्येक X[k]यह मापता है कि संकेत k-एकता की जड़ - एक जटिल आवृत्ति पर sinusoid$k$. डीएफटी एक संकेत को तोड़ता है Nघूर्णन चरणों और आप प्रत्येक के amplitude और चरण बताता है।

मैं कल्पना क्यों नहीं कर रहा हूँ

"कल्पना" शब्द एक ऐतिहासिक दुर्घटना है. डेसकार्ट्स ने इसे अस्वीकार करने के लिए इस्तेमाल किया।iनकारात्मक संख्याओं का जवाब है "आप क्या प्राप्त करने के लिए 3 से 5 घटाएं? " काल्पनिक इकाई जवाब है "आप क्या प्राप्त करने के लिए -1 करने के लिए वर्ग? "

अधिक उपयोगी रूप से: $i$90 डिग्री घूर्णन ऑपरेटर है. वास्तविक संख्या से गुणा करेंiएक बार, आप 90 डिग्री परिकल्पना अक्ष के लिए घूमते हैं.iफिर से (i^2), आप एक और 90 डिग्री घूमते हैं - अब आप नकारात्मक वास्तविक दिशा में इंगित कर रहे हैं। यही कारण है किi^2 = -1यह रहस्यमय नहीं है. यह दो चौथाई मोड़ से निर्मित आधा मोड़ है.

यही कारण है कि इंजीनियरिंग में जटिल संख्याएं हर जगह हैं. जो भी घूमती है -- विद्युत चुम्बकीय तरंगें, क्वांटम अवस्थाएँ, संकेत घिसान, स्थिति कोडिंग -- स्वाभाविक रूप से जटिल संख्याओं द्वारा वर्णित होती है।

जटिल एक्सपोनेंटियल बनाम त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन

यूलर के सूत्र से पहले, इंजीनियरों ने संकेतों को लिखा था जैसे A \cos(\omega t + \phi)-- परिमाण A, आवृत्ति \omega, चरण \phiयह काम करता है, लेकिन अंकगणित दर्दनाक बनाता है. दो अलग-अलग चरणों के साथ दो cosines जोड़ने के लिए त्रिकोणमितिक पहचान की आवश्यकता होती है.

जटिल एक्सपोनेंटियल के साथ, एक ही संकेत है A e^{i(\omega t + \phi)}. दो संकेत जोड़ना सिर्फ दो जटिल संख्याओं को जोड़ना है. गुणा (मॉड्यूलेशन) केवल परिमाणों को गुणा करना और कोण जोड़ना है. चरण शिफ्ट कोण जोड़ने बन जाते हैं. आवृत्ति शिफ्ट चरणों द्वारा गुणन बन जाते हैं।

सिग्नल प्रोसेसिंग का पूरा क्षेत्र जटिल एक्सपोनेंशियल नोटेशन में बदल गया क्योंकि गणित स्वच्छ है। "वास्तविक संकेत" हमेशा जटिल प्रतिनिधित्व का वास्तविक हिस्सा होता है। कल्पनात्मक भाग को लेखांकन के रूप में साथ ले जाया जाता है, जिससे सभी बीजगणित स्वाभाविक रूप से काम करते हैं।

ट्रांसफार्मर से कनेक्शन

Sinusoidal positional encodings(मूल ट्रांसफार्मर पेपर):

\begin{aligned} PE(pos, 2i) &= \sin\left(pos / 10000^{2i/d}\right) \\ PE(pos, 2i+1) &= \cos\left(pos / 10000^{2i/d}\right) \end{aligned}

पाप और कॉस जोड़े विभिन्न आवृत्तियों पर जटिल एक्सपोनेंटियल के वास्तविक और कल्पनात्मक भाग हैं। प्रत्येक आवृत्ति कोडिंग स्थिति के लिए एक अलग "रिज़ॉल्यूशन" प्रदान करती है। कम आवृत्तियां धीरे-धीरे बदलती हैं (गहरे स्थिति) । उच्च आवृत्तियां तेजी से बदलती हैं (अच्छी स्थिति) । साथ में वे प्रत्येक स्थिति को एक अद्वितीय आवृत्ति फिंगरप्रिंट देते हैं।

RoPE (Rotary Position Embedding)यह स्पष्ट रूप से जटिल घूर्णन मैट्रिक्स द्वारा क्वेरी और कुंजी वेक्टर को गुणा करता है। दो टोकन के बीच सापेक्ष स्थिति घूर्णन कोण बन जाती है। इन घूर्णन वेक्टरों का उपयोग करके ध्यान की गणना की जाती है, जिससे मॉडल जटिल गुणा के माध्यम से सापेक्ष स्थिति के प्रति संवेदनशील होता है।

OperationAlgebraic FormGeometric Meaning
Addition(a+c) + (b+d)iVector addition in the plane
Multiplication(ac-bd) + (ad+bc)iRotate and scale
Conjugatea - biReflect over real axis
Magnitude\sqrt{a^2 + b^2}Distance from origin
Phase\mathop{\mathrm{atan2}}(b, a)Angle from positive real axis
Divisionmultiply by conjugateReverse rotation and rescale
Powerr^n e^{in\theta}Rotate n times, scale by r^n
graph LR
    subgraph "Unit Circle"
        direction TB
        U1["e^(i*0) = 1"] -.-> U2["e^(i*pi/2) = i"]
        U2 -.-> U3["e^(i*pi) = -1"]
        U3 -.-> U4["e^(i*3pi/2) = -i"]
        U4 -.-> U1
    end
    subgraph "Applications"
        A1["Euler's formula:<br/>e^(i*theta) = cos + i*sin"]
        A2["DFT uses roots of unity:<br/>e^(2*pi*i*k/N)"]
        A3["RoPE uses rotation:<br/>q * e^(i*m*theta)"]
    end
    U1 --> A1
    U1 --> A2
    U1 --> A3

इसे बनाओ

चरण 1: जटिल कक्षा

एक जटिल संख्या वर्ग का निर्माण करें जो आयताकार और ध्रुवीय रूपों के बीच अंकगणित, परिमाण, चरण और रूपांतरण का समर्थन करता है।

python
import math

class Complex:
    def __init__(self, real, imag=0.0):
        self.real = real
        self.imag = imag

    def __add__(self, other):
        return Complex(self.real + other.real, self.imag + other.imag)

    def __mul__(self, other):
        r = self.real * other.real - self.imag * other.imag
        i = self.real * other.imag + self.imag * other.real
        return Complex(r, i)

    def __truediv__(self, other):
        denom = other.real ** 2 + other.imag ** 2
        r = (self.real * other.real + self.imag * other.imag) / denom
        i = (self.imag * other.real - self.real * other.imag) / denom
        return Complex(r, i)

    def magnitude(self):
        return math.sqrt(self.real ** 2 + self.imag ** 2)

    def phase(self):
        return math.atan2(self.imag, self.real)

    def conjugate(self):
        return Complex(self.real, -self.imag)

चरण 2: ध्रुवीय रूपांतरण और एयूलर का सूत्र

python
def to_polar(z):
    return z.magnitude(), z.phase()

def from_polar(r, theta):
    return Complex(r * math.cos(theta), r * math.sin(theta))

def euler(theta):
    return Complex(math.cos(theta), math.sin(theta))

सत्यापित करेंः euler(theta).magnitude()हमेशा 1.0 होना चाहिए।euler(0)देना चाहिए (1, 0). euler(pi)(-1, 0) देना चाहिए।

चरण 3: घूर्णन

एक बिंदु पर घूमना (x, y)कोण से \thetaएक जटिल गुणा हैः

python
point = Complex(3, 4)
rotated = point * euler(math.pi / 4)

केवल कोण बदलता है।

चरण 4: जटिल अंकगणित से डीएफटी

python
def dft(signal):
    N = len(signal)
    result = []
    for k in range(N):
        total = Complex(0, 0)
        for n in range(N):
            angle = -2 * math.pi * k * n / N
            total = total + Complex(signal[n], 0) * euler(angle)
        result.append(total)
    return result

यह है O(N^2)प्रत्येक आउटपुट X[k]संकेत नमूने का योग है जो एकता की जड़ों से गुणा किया गया है।

चरण 5: उल्टा डीएफटी

उल्टा डीएफटी अपने स्पेक्ट्रम से मूल संकेत को पुनर्निर्माण करता है। आगे के डीएफटी से केवल परिवर्तनः एक्सपोनेंट में संकेत को पलटकर विभाजित करें।N. .

python
def idft(spectrum):
    N = len(spectrum)
    result = []
    for n in range(N):
        total = Complex(0, 0)
        for k in range(N):
            angle = 2 * math.pi * k * n / N
            total = total + spectrum[k] * euler(angle)
        result.append(Complex(total.real / N, total.imag / N))
    return result

यह आपको सही पुनर्निर्माण देता है. DFT लागू करें, फिर IDFT, और आप मशीन सटीकता के लिए मूल संकेत वापस मिलता है. कोई जानकारी खो नहीं है.

चरण 6: एकता की जड़ें

python
def roots_of_unity(N):
    return [euler(2 * math.pi * k / N) for k in range(N)]

दो गुणों की जांच करेंः

  • प्रत्येक जड़ का परिमाण 1 होता है।
  • सभी का योग Nजड़ें शून्य हैं (वे सममितता द्वारा रद्द कर दी जाती हैं) ।

ये गुण हैं जो डीएफटी को परिवर्तनीय बनाते हैं। एकता की जड़ें आवृत्ति क्षेत्र के लिए एक ऑर्थोगनल आधार बनाते हैं।

इसका प्रयोग करें

पायथन में अंतर्निहित जटिल संख्या समर्थन है।jकल्पना की इकाई का प्रतिनिधित्व करता है।

python
z = 3 + 2j
w = 1 + 4j

print(z + w)
print(z * w)
print(abs(z))

import cmath
print(cmath.phase(z))
print(cmath.exp(1j * cmath.pi))

सरणी के लिए, नम्पी जटिल संख्याओं को मूल रूप से संभालती हैः

python
import numpy as np

z = np.array([1+2j, 3+4j, 5+6j])
print(np.abs(z))
print(np.angle(z))
print(np.conj(z))
print(np.real(z))
print(np.imag(z))

signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * np.linspace(0, 1, 128))
spectrum = np.fft.fft(signal)
freqs = np.fft.fftfreq(128, d=1/128)

इसे भेजें

दौड़ेंcode/complex_numbers.pyया npx tsx code/complex_numbers.tsउत्पन्न करने के लिए outputs/skill-complex-arithmetic.md. .

व्यायाम

  1. Complex arithmetic by hand.गणना (2 + 3i)(4 - i)और कोड के साथ सत्यापित करें. फिर गणना(5 + 2i) / (1 - 3i)जटिल विमान पर दोनों परिणामों को खींचें और जांचें कि गुणा ने पहले नंबर को घुमाया और स्केल किया।
  1. Rotation sequence.बिंदु से शुरू करें (1, 0). से गुणा करें $e^{i\pi/6}12 बार. सुनिश्चित करें कि आप वापस आ रहे हैं.(1, 0)$प्रत्येक चरण पर निर्देशांक प्रिंट करें और पुष्टि करें कि वे एक नियमित 12gon का पता लगाते हैं।
  1. DFT of a known signal.एक संकेत बनाएँ जो कि राशि है \sin(2\pi \cdot 3t)और $0.5 \sin(2\pi \cdot 7t)$32 बिंदुओं पर नमूना. अपने DFT चलाओ. सत्यापित करें कि परिमाण स्पेक्ट्रम 3 और 7 आवृत्तियों पर चोटी है, 7 पर चोटी 3 पर चोटी की ऊंचाई का आधा है.
  1. Roots of unity visualization.इकाई की आठवीं जड़ की गणना करें, जांचें कि वे शून्य तक योग हैं, जांचें कि किसी भी जड़ को आदिम जड़ से गुणा करना हैe^{2\pi i/8}अगले जड़ देता है।
  1. Rotation matrix equivalence.10 यादृच्छिक कोणों और 10 यादृच्छिक बिंदुओं के लिए, यह सत्यापित करें कि जटिल गुणा 2x2 घूर्णन मैट्रिक्स के साथ मैट्रिक्स-वेक्टर गुणा के समान परिणाम देता है। अधिकतम संख्यात्मक अंतर प्रिंट करें।

संकेत

Exercise 1. के साथ उत्पाद का विस्तार करेंi^2 = -1, फिर उपरोक्त और नीचे के साथ जोड़कर विभाजित करें 1 + 3iउत्पाद की जांच करेंComplex(2, 3) * Complex(4, -1)magnitude()दो परिमाणों के गुणक के बराबर होना चाहिए, और इसकी phase()दोनों चरणों का योग बराबर होना चाहिए।

Exercise 2.euler(math.pi / 6)और 12 बार गुणा करें. प्रत्येक चरण में, जांचें कि परिमाण 1 रहता है और कोण 30 डिग्री बढ़ता है। अंतिम बिंदु (1, 0) के भीतर लगभग 1e-12 होना चाहिए।

Exercise 3.समय बिंदुओं को t = n/32और कॉलdft. केवल 0 से 15 तक के डिब्बे को देखें, क्योंकि ऊपरी आधा एक दर्पण छवि है.kएक संदिग्धता के लिएAहै AN/2, तो बाइन 3 पर लगभग 16 और बाइन 7 पर लगभग 8 की उम्मीद करें।

Exercise 4.कॉलroots_of_unity(8)और जड़ें जोड़ेंः योग की मात्रा 0 के करीब होना चाहिए. प्रत्येक जड़ को पिछले जड़ से विभाजित करें और जांचें कि प्रत्येक परिणाम बराबर है।euler(2 * math.pi / 8). .

Exercise 5.घूर्णन मैट्रिक्स [[cos t, -sin t], [sin t, cos t] है। प्रत्येक कोण और बिंदु के लिए, गणना करें euler(t) * Complex(x, y)और मैट्रिक्स उत्पाद, तो रिकॉर्ड सबसे बड़ा निरपेक्ष अंतर। एक मूल्य के करीब उम्मीद 10^{-15}. .

प्रमुख शर्तें

TermWhat it means
Complex numberA number a + bi where a is the real part, b is the imaginary part, and i^2 = -1
Imaginary unitThe number i, defined by i^2 = -1. Not imaginary in the philosophical sense -- it is a rotation operator
Complex planeThe 2D plane where the x-axis is real and the y-axis is imaginary. Also called the Argand plane
Magnitude (modulus)The distance from the origin: \sqrt{a^2 + b^2}. Written as \lvert z \rvert
Phase (argument)The angle from the positive real axis: \mathop{\mathrm{atan2}}(b, a). Written as \arg(z)
ConjugateThe mirror image across the real axis: conjugate of a + bi is a - bi
Polar formExpressing z as r e^{i\theta} instead of a + bi. Makes multiplication easy
Euler's formulae^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta. Connects exponentials to trigonometry
PhasorA rotating complex number e^{i\omega t} representing a sinusoidal signal
Roots of unityThe N complex numbers e^{2\pi i k/N} for k = 0 to N-1. N equally spaced points on the unit circle
DFTDiscrete Fourier Transform. Decomposes a signal into complex sinusoidal components using roots of unity
RoPERotary Position Embedding. Uses complex multiplication to encode relative position in transformer attention

आगे पढ़ना

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